Illuminazione sul gruppo di Spin

A volte la risposta è sempre stata lì, quasi come se l’avessi sempre saputa ma solo ad un certo punto ne sei consapevole; questo è successo alla mia persona per quanto riguarda il gruppo di Spin.

Partiamo dagli albori: nel 1922 il fisico Otto Stern e Walter Gerlach eseguirono un esperimento chiamato da quel giorno di Stern-gerlach (che fantasia poderosa) con cui misero fuori gioco la concezione meccanica classica per quanto riguarda le particelle elementari (già il trick di Planck per spiegare il paradosso della catastrofe ultravioletta aveva messo in dubbio il tutto, ma questo era un esperimento reale e senza possibili ri-interpretazioni); essi fecero passare degli atomi di argento per un campo magnetico disomogeneo facendoli impattare su una lastra fotografica per osservare così la loro distribuzione del momento angolare (detto spin). Un ragionamento classico ci avrebbe dovrebbe far credere che la distribuzione debba essere casuale, ma ciò non è: il momento angolare dell’ultimo elettrone che (spaiato) si trova nell’ultimo orbitale dell’argento, restituisce una volta misurato solo un risultato, o su o giù!!!

La cosa paradossale sta nel fatto che se mettiamo due macchine dell’esperimento in questione in serie, con il campo magnetico invariato, una particella con lo spin su rimarrà sempre con lo spin su… come se la misurazione fissasse la misura… ma questa è una storia che può portare troppo lontano…

Un bel giorno un giovane dal nome lungo e mirabolante decide di sorpassare le problematiche della meccanica quantistica standard per permetterle di passare la folle revisione della relatività introdotta da un impiegato dell’ufficio brevetti, cercando un operatore il cui quadrato fosse l’equazione di Klein-gordon pensò alla seguente arrivando alla conclusione che gli elementi gamma avrebbero dovuto sottostare alla relazionee che quindi quelle belle gamma dovevano essere per forza delle matrici; ottenne inoltre che le funzioni d’onda soluzioni di questa equazione incorporavano in automatico lo spin degli elettroni (in realtà questa equazione descrive qualunque fermione esista in natura) nonché le antiparticelle (dalla serie “la carta batte la camera a nebbia“).

Il bello è che la relazione sopra mostrata ricalca quella con cui Clifford identifica quasi un secolo prima l’algebra che porta il suo nomee che in pratica definisce una sorta di prodotto fra vettori in cui un vettore “moltiplicato” per se stesso genera un numero; può sembrare una definizione complessa ed inutile, ma si dà il caso che i numeri complessi, i quaternioni e gli ottonioni sono casi particolari di questa struttura matematica. Si può dimostrare che se prendiamo i prodotti pari di vettori unitari possiamo generare un gruppo, detto appunto di Spin, il quale agisce sui vettori complessi facendoli ruotare in una maniera particolare: una rotazione di 2 pi greco non riporta l’oggetto in questione nella posizione originale ma gli cambia segno! la rotazione identica risulta di ampiezza doppia ed è proprio il modo un cui si comportano gli elettroni.

Qual’era la mia difficoltà? il non riuscire a trovare l’espressione degli elementi del gruppo di Spin e capire il perché, secondo la teoria topologica, questo gruppo ha due componenti connesse per metrica di segnature non banali (lettore capitato qui per caso non ti suicidare, quello che sto dicendo ha senso); ora io ho capito (qualunque cosa voglia dire)! prima di tutto siccome abbiamo detto che gli elementi del gruppo di Spin sono prodotti pari di vettori unitari, abbiamo che un elemento generico avrà la formadove e che quindi necessitiamo di 6 parametri per descrivere questo gruppo (nel caso in cui la metrica sia quella di Minkowski), ma per recuperare una forma meglio conosciuta ad un fisico possiamo definire le matricitramite cui descrivere un qualunque elemento di questo gruppo come prodotto di questi dueil primo rappresenta le rotazioni e il secondo i cambiamenti di velocità (detti boost) in pieno spirito relativistico. Da questa espressione risulta palese (???) che il gruppo è composto da due pezzi distinti, ognuno identificato dal segno davanti al coseno iperbolico (funzione che ha valori esclusivamente positivi e quindi non è possibile congiungere con una curva queste due varianti).

Spero che si capisca qualcosa in quello che ho scritto, se qualcuno si sente offeso dai miei sproloqui si faccia sentire…